Logaritemska številka

Logaritem je matematični uvod, ki naj bi v enačbi našel moč številke. Če upoštevamo moč števila, se število, ki se dvigne na moč, imenuje baza moči, sama moč pa se imenuje eksponent. Torej, v številu 2 3, 2 je osnova, in 3 je kazalnik. Da bi razumeli bistvo logaritma, upoštevamo eksponencialno identiteto (enakost z uporabo stopnje). V izrazu 2 3 = 8 so tri številke med seboj povezane, osnova stopnje, eksponent in vrednost stopnje so 8. V skladu s tem lahko vsako od teh številk zamenjamo s spremenljivko, da dobimo enačbo.
x 3 = 8
2 3 = x
2 x = 8

Če se prvi dve enačbi štejeta za dokaj standardne, potem tretja enačba postane ločena serija eksponentnih enačb in ko postane bolj kompleksna z drugimi algebrskimi dejanji, je potrebno uvesti dodatni element za njegovo reševanje. Ta element postane logaritem.
2 x = 8
log28 = x

Da bi našli neznano x, morate izračunati logaritem od 8 do 2. Imena številk so enaka kot v stopnji, 2 ostaja osnova, zdaj pa ne stopinj, ampak logaritem, 8 postane telo logaritma. Če ste pozorni, potem ohranijo svoj položaj in je vizualno enostavno zapomniti, da morate za izračun logaritma vedeti, v kolikšni meri morate zgraditi 2 (številka spodaj, na levi), da dobite 8 (številka desno zgoraj).

Za izračun logaritmov z različnimi bazami in telesi lahko uporabite spletni logaritemski kalkulator spodaj.

Kako določiti stopnjo števila?

vsako pozitivno število N je lahko predstavljeno v obliki stopnje katere koli druge pozitivne številke a:

n se imenuje logaritem števila N na podlagi a.

Na primer, logaritem 8 za bazo 2 je 3. 2 do 3 je enako 8: 2 ^ 3 = 8.

Logaritem milijona v osnovni 10 je enak 6: 10 ^ 6 = 1.000.000 in tako naprej.

Na široko so se uporabljali decimalni logaritmi in naravni logaritmi na osnovi e, ki jih je enostavno najti na internetu.

Vsi logaritmi so med seboj sorazmerni: ln (X) = ln10 * lg (X) = (1 / lg (e)) * lg (X) = (1 / M) * lg (X), 1 / M = ln 10 = 2.3025851

vam omogoča, da poiščete stopnjo m⁡ za katerokoli a kot razmerje med logaritmami katere koli baze z.

Številke Stopnja števila.

Znano je, da je vsota več enakih komponent mogoče najti z množenjem. Na primer: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Takšen izraz naj bi bil vsota enakih komponent, ki so se spremenile v izdelek. In obratno, če beremo to enakost od desne proti levi, dobimo, da smo razširili vsoto enakih izrazov. Podobno lahko produkt več enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 = 5 6 strnemo.

To pomeni, da namesto množenja šestih enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 napišejo 5 6 in rečejo »pet do šeste stopnje«.

Izraz 5 6 je moč števila, kjer:

5 - osnova stopnje;

6 - eksponent.

Dejanja, s katerimi je zmnožek produkta enakih faktorjev zmanjšan na moč, se imenujejo eksponentija.

Na splošno je stopnja z osnovo "a" in indeksom "n" napisana kot

Za dvig števila a na moč n pomeni najti produkt n faktorjev, od katerih je vsak a

Če je osnova stopnje "a" 1, potem je vrednost stopnje za vsako naravno n 1. Na primer, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Če dvignemo število “a” na prvo stopnjo, dobimo samo število a: a 1 = a

Če dvignemo poljubno število na ničelno stopnjo, potem kot rezultat izračunov dobimo eno. a 0 = 1

Posebej upoštevajte drugo in tretjo stopnjo. Za njih je prišlo do imena: druga stopnja se imenuje kvadrat števila, tretja - kocka tega števila.

Vsako število se lahko dvigne na pozitivno, negativno ali ničelno moč. Ne uporablja naslednjih pravil:

-z ugotavljanjem stopnje pozitivnega števila dobimo pozitivno število.

-pri izračunu ničle v naravni stopnji dobimo nič.

- pri izračunu stopnje negativnega števila je lahko rezultat pozitivno in negativno število. To je odvisno od tega, ali je eksponent liho ali liho.

Če rešimo nekaj primerov za izračun stopnje negativnih števil, se izkaže, da če izračunamo liho stopnjo negativnega števila, bo rezultat številka s predznakom minus. Ker, ko pomnožimo liho število negativnih dejavnikov, dobimo negativno vrednost.

Če za negativno število izračunamo celo stopnjo, bo rezultat pozitivno število. Ker, ko pomnožimo celo število negativnih dejavnikov, dobimo pozitivno vrednost.

Stopnja lastnosti z naravnim indikatorjem.

Da bi stopinje pomnožili z istimi bazami, ne spreminjamo baz in dodajamo eksponentov stopinj:

na primer: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Za ločevanje stopinj z istimi bazami osnove ne spreminjamo, temveč odštejemo eksponente:

na primer: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Pri izračunu stopnje stopnje ne spreminjamo osnove in pomnožimo eksponentov stopinj.

na primer: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Če je potrebno erekcijo izračunati do stopnje izdelka, potem se vsak faktor dvigne do te stopnje.

na primer: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Pri izračunih gradnje ulomka dvignemo števec in imenovalec frakcije na to moč.

na primer: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Zaporedje izračunov pri delu z izrazi, ki vsebujejo stopnjo.

Pri izvajanju izračunov, izrazov brez oklepajev, ki vsebujejo stopinje, najprej opravite eksponentiranje, nato pomnožite in delite dejanja, šele nato dodajte in odštejte operacije.

Če je potrebno izračunati izraz, ki vsebuje oklepaje, najprej v zgoraj navedenem vrstnem redu naredimo izračune v oklepajih, nato pa preostale ukrepe v istem vrstnem redu z leve proti desni.

Zelo široko v praktičnih izračunih za poenostavitev izračunov uporabite pripravljene tabele stopinj.

Kako ugotoviti stopnjo števila?

Kot vem, za tovrstne naloge ni splošne metodologije.

Najlažji način je razgraditi dano število v osnovne dejavnike.

V primeru, ki ga navedete, bo izgledal takole:

614656 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (7 x 7 x 7 x 7)

Iz 7 x 7 x 7 x 7 sledi, da je "verjetna moč" 4: 7 x 7 x 7 x 7 = 7 ^ 4 (1)

Potem od 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) = 4 ^ 4 (2)

Po (1) in (2) lahko zapišemo: 614656 = (4 ^ 4) x (7 ^ 4) = (4 x 7) ^ 4 = 28 ^ 4!

Uspeh pri obvladovanju matematike!

Z veliko najboljših želja in sreče v vašem osebnem življenju!

Math

Navigacijska vrstica

Inverzna stopnja

7. Glede na slednje značilnosti eksponentnega dejanja zanj Lahko naredite 2 obratne probleme. Primer:

1) Načrtoval sem številko, jo pripeljal do tretje stopnje (ali: do kocke), izkazalo se je 64; na kaj mislim?

To nalogo lahko zapišemo kot

2) Vzel sem številko 3, jo v določeni meri obnovil, izkazalo se je 81. V kolikšni meri je bila številka 3 dvignjena.

To nalogo lahko zapišemo kot:

Zdaj, ker eksponentizacija nima zakona o prehodu, je treba ti dve nalogi obravnavati povsem drugače.

Najprej jih je mogoče rešiti z izbiro: poskusite številko 1, 1 3 = 1, ne 64, naslednje, 1 ni primerno; 2 3 = 8, ne 64, naslednji., 2 ne deluje, 3 3 = 27, ne 64, naslednji.3 ne deluje; 4 3 = 64, naslednji., V prvi nalogi je bila spočeta številka 4. Ugotovite tudi, da je bila v drugi nalogi številka 3 dvignjena na 4. stopnjo.

Ker je veliko takih nalog, je treba izumiti nove ukrepe za njihovo reševanje. Ti ukrepi so v nasprotju z eksponentiranjem. Torej, za dvig do moči, obstajata dve povratni dejavnosti: prva se imenuje ekstrakcija korenin in služi reševanju vprašanj, kot je prva od naših nalog; druga se imenuje iskanje logaritma in služi reševanju vprašanj, kot je drugi problem.

Če upoštevamo dejstvo, da v prvem problemu dobimo stopnjo 64 in eksponent 3, potem določimo definicijo:

Ekstrakcija korena se imenuje dejanje, ki je nasprotno eksponentaciji do stopnje, s katero s to stopnjo in s tem kazalnikom najdejo osnovo stopnje.

Prav tako je točna: v drugi nalogi sta podani stopnja (81) in osnova stopnje (3), vendar je treba poiskati eksponenta. Zato

ugotovitev logaritma se imenuje dejanje, inverzno eksponentiranje, s katerim se pojavi eksponent za dano stopnjo in za dano osnovo.

Stopnja števila: definicije, oznake, primeri.

V tem članku bomo razumeli, kakšna je stopnja števila. Tu bomo podali definicije stopnje števila, s podrobnim pregledom vseh možnih kazalnikov stopnje, začenši z naravnim indikatorjem in končano z iracionalnim. V gradivu boste našli veliko primerov stopinj, ki pokrivajo vse razlik, ki se pojavijo.

Pomaknite se po strani.

Stopnja z naravnim indikatorjem, kvadrat števila, kocka števila

Za začetek bomo podali definicijo stopnje števila z naravnim indeksom. Če pogledamo naprej, rečemo, da je definicija stopnje a z naravnim indeksom n podana za realno število a, ki ga bomo imenovali baza stopnje, in naravno število n, ki ga bomo poimenovali eksponent. Ugotavljamo tudi, da je stopnja z naravnim indeksom določena skozi produkt, tako da morate za razumevanje spodnjega gradiva imeti idejo o množenju števil.

Stopnja a z naravnim indeksom n je izraz oblike a n, katere vrednost je enaka zmnožku n faktorjev, od katerih je vsak enak a, tj.
Še posebej je stopnja a z indeksom 1 samo število a, to je a 1 = a.

Iz te definicije je jasno, da lahko s pomočjo stopnje z naravnim indeksom zapišemo dela več enakih dejavnikov. Na primer, 8,88,8 lahko zapišemo kot stopnjo 8 4. To je analogno temu, kako je vsota enakih izrazov napisana z delom, na primer 8 + 8 + 8 + 8 = 8,4 (glej splošno predstavo o množenju naravnih števil).

Takoj je treba povedati o pravilih branja. Univerzalni način branja n zapisa je: "a moči n". V nekaterih primerih so dopustne tudi take različice: „a do n-te stopnje“ in „n-ta moč števila a“. Na primer, vzemite oceno 8 12, to je »osem do dvanajstih« ali »osem do dvanajste moči« ali »dvanajsta moč osem«.

Druga stopnja števila in tretja stopnja številke imata svoje ime. Druga moč števila se imenuje kvadrat števila, na primer 7 2 se glasi kot »sedem kvadratov« ali »kvadrat števila sedem«. Tretja moč številke se imenuje kocka števila, npr. 5 3 lahko beremo kot »pet v kocki« ali rečemo »kocka števila 5«.

Čas je, da navedete primere stopenj z naravnimi kazalci. Začnimo s stopnjo 5 7, pri čemer je 5 osnova stopnje in 7 je eksponent. Naj navedemo še en primer: decimalna frakcija 4,32 je osnova, pozitivno celo število 9 pa je eksponent (4.32) 9.

Prosimo, upoštevajte, da je v zadnjem primeru osnova stopinje 4.32 napisana v oklepajih: da bi se izognili razlikam, bomo vzeli vse osnove stopnje v oklepajih, ki se razlikujejo od naravnih števil. Kot primer navedemo naslednje stopnje z naravnimi indikatorji, njihove osnove niso naravne številke, zato so zapisane v oklepajih. Torej, za popolno jasnost v tem trenutku pokažemo razliko, ki jo vsebuje zapis v obliki (−2) 3 in −2 3. Izraz (−2) 3 je stopnja negativnega števila −2 z naravnim indeksom 3, izraz −2 3 (lahko ga zapišemo kot - (2 3)) pa ustreza številki, ki je nasprotna vrednosti stopnje 2 3.

Upoštevajte, da obstaja zapis za stopnjo a z indeksom n oblike a ^ n. Poleg tega, če je n večkratno pozitivno celo število, se eksponent zajema v oklepajih. Na primer, 4 ^ 9 je drug vnos stopnje 4 9. Tu je še nekaj primerov snemanja stopinj z uporabo simbola "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). V nadaljevanju bomo v glavnem uporabili zapis za stopnjo oblike a n.

Zgornja opredelitev omogoča, da se z naravnim indikatorjem ugotovi vrednost stopnje. V ta namen izračunajte produkt n enakih faktorjev, ki je enak a. Ta tema si zasluži podrobno obravnavo v ločenem članku - glej eksponentiranje z naravnim indikatorjem.

Ena od nalog, inverzna konstrukcija z naravnim indikatorjem, je problem iskanja osnove stopnje z znano vrednostjo stopnje in znanega indikatorja. Ta naloga vodi do koncepta korena iz številke.

Prav tako je vredno raziskati lastnosti stopnje z naravnim indeksom, ki izhaja iz te definicije stopnje in lastnosti množenja.

Stopnja s celim številom

Ko smo določili stopnjo a z naravnim indeksom, se pojavi logična želja razširiti pojem stopnje in se premakniti na stopnjo števila, katerega kazalec bo celo število, vključno z negativnim in ničelnim. To je treba narediti tako, da bodo vse lastnosti stopnje z naravnim indeksom ostale veljavne, saj so naravna števila del celih števil.

Stopnja a z pozitivnim številom je nič več kot moč a z naravnim eksponentom:, kjer je n pozitivno celo število.

Sedaj definiramo ničelno moč a. Izhajamo iz lastnosti parcialnih moči z enakimi osnovami: za naravna števila m in n, m m: a n = a m - n (pogoj a is 0 je potreben, ker bi drugače imeli delitev na nič). Za m = n pisna enakost vodi do naslednjega rezultata: a n: a n = a n - n = a 0. Po drugi strani pa je n: a n = 1 kot količnik enakih števil n in n. Zato moramo sprejeti 0 = 1 za vsako nenično ničelno realno število a.

Kaj pa stopnja nič do nič? Pristop, uporabljen v prejšnjem odstavku, v tem primeru ni primeren. Lahko spomnimo lastnost produkta stopinj z istimi bazami a m · a n = a m + n, še posebej, kadar je n = 0, imamo m · a 0 = a m (ta enakost kaže tudi, da je 0 = 1). Pri a = 0 dobimo enakost 0 m · 0 0 = 0 m, ki jo lahko ponovno napišemo kot 0 = 0, velja za vse naravne m, ne glede na to, kaj je vrednost izraza 0 0 enaka. Z drugimi besedami, 0 0 je lahko enako poljubnemu številu. Da bi se izognili tej dvoumnosti, moči ničelnega nič ne bomo dodelili ničelnega smisla (iz istih razlogov, ko smo preučevali delitev, izrazu 0: 0 nismo dali pomena).

Preprosto je preveriti, da je naša enakost a 0 = 1 za nenularna števila a skladna z lastnostjo stopnje do stopnje (a m) n = a m · n. Za n = 0 imamo (a m) 0 = 1 in m · 0 = a 0 = 1, pri m = 0 pa imamo (a 0) n = 1 n = 1 in a 0 · n = a 0 = 1.

Tako smo prišli do definicije diplome z ničelnim indikatorjem. Stopnja eksponenta (z ničelnim realnim številom) je ena, to je a 0 = 1 za a. 0.

Dajmo primere: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 in 0 0 ni definirano.

Določimo ničelno stopnjo števila a, ostanemo določiti celo število negativnih stopenj števila a. To nam bo pomagalo vse isto lastnost produkta stopinj z istimi bazami a m · a n = a m + n. Vzemimo m = −n, ki zahteva pogoj a, 0, nato a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1, iz česar sklepamo, da sta n in a - n medsebojno inverzna števila. Zato je logično, da je število a definirano kot celo število negativnih stopenj −n kot ulomka. Preprosto je preveriti, da je pri takšni nalogi stopnja neničelnega števila a s celoštevilskim negativnim eksponentom vse lastnosti stopnje z naravnim eksponentom (glej lastnosti eksponenta z eksponentom cele številke) resnična, za kar smo si prizadevali.

Zaznamo definicijo stopnje s celotnim negativnim indeksom. Stopnja a z negativno celo −n (ne-ničelno realno število) je frakcija, to je z ≠ 0 in pozitivno celo število n.

Razmislite o tej definiciji stopnje z negativnim številom na posebnih primerih:.

Povzemite informacije o tej točki.

Stopnja a z celim številom z je definirana kot:

Stopnja z racionalnim kazalnikom

Iz celoštevilskih eksponentov števila a se kaže sam prehod na racionalni kazalnik. V nadaljevanju definiramo stopnjo z racionalnim indikatorjem in to naredimo tako, da ohranimo vse lastnosti stopnje s celotnim indikatorjem. To je potrebno, ker so cela števila del racionalnih števil.

Znano je, da je množica racionalnih števil sestavljena iz celih števil in frakcijskih števil, vsako delno število pa je lahko predstavljeno kot pozitivni ali negativni navadni del. V prejšnjem odstavku smo definirali stopnjo z eksponentom celega števila, zato moramo za dokončanje definicije eksponenta z racionalnim eksponentom dati pomen stopnji a s frakcijskim eksponentom m / n, kjer je m celo število in je n naravno. Naredimo to.

Razmislite o stopnji z delnim eksponentom. Da bi bila lastnina diplome veljavna, mora biti enakost izpolnjena. Če upoštevamo pridobljeno enakost in kako smo določili korenino n-te stopnje, je logično sprejeti, če je za dano m, n in a izraz smiseln.

Preprosto je preveriti, ali so vse lastnosti stopnje s celoštevilskim indikatorjem veljavne (to je storjeno v poglavju o lastnostih stopnje z racionalnim indikatorjem).

Zgornje sklepanje nam omogoča, da sklepamo naslednje: če je za dano m, n in a izraz smiseln, potem je stopnja a z delnim indeksom m / n koren n-te stopnje od a do stopnje m.

Ta trditev nas tesno povezuje z definicijo stopnje s frakcijskim eksponentom. Ostaja le pisanje, za katerega je m, n in a smiselno izražanje. Glede na omejitve, ki jih nalagajo m, n in a, obstajata dva osnovna pristopa.

Najlažje je omejiti na a, pri čemer je a≥0 za pozitivno m in a> 0 za negativno m (ker za m≤0 stopnja 0 m ni definirana). Potem dobimo naslednjo definicijo stopnje s frakcijskim eksponentom.

Stopnja pozitivnega števila a z delnim indeksom m / n, kjer je m celo število in n pozitivno celo število, se imenuje n-ti koren a na moč m, tj.

Tudi frakcijsko stopnjo nič določimo z edinim pridržkom, da mora biti kazalnik pozitiven.

Stopnja nič z delnim pozitivnim indeksom m / n, kjer je m pozitivno celo število in n pozitivno celo število, je definirana kot.
Če stopnja ni določena, to pomeni, da stopnja števila nič z delnim negativnim indikatorjem nima smisla.

Opozoriti je treba, da obstaja pri takšni definiciji stopnje z delnim eksponentom en odtenek: za nekatere negativne a in nekatere m in n je izraz smiseln in te primere smo zavrgli z vnosom stanja a≥0. Na primer, smiselno je napisati ali, in zgornja definicija nas naredi, da pravimo, da stopnje z delnim indeksom vrste nimajo smisla, saj osnova ne sme biti negativna.

Drugi pristop za določanje stopnje z delnim m / n je obravnava ločenih in enakih korenskih indeksov. Ta pristop zahteva dodaten pogoj: stopnja števila a, katerega indikator je zmanjšana frakcija, se šteje za stopnjo števila a, katerega kazalnik je ustrezna nevredljiva frakcija (razložimo pomen tega pogoja tik pod). To pomeni, da če je m / n nepovratna frakcija, potem se za vsako naravno število k stopnja nadomesti z.

Za celo n in pozitivno m je izraz smiseln za vse ne-negativne a (celo koren negativnega števila nima smisla), pri negativnih m pa mora biti tudi število a ne-nič (drugače delite z ničlo). Pri lihih n in pozitivnih m je število a lahko poljubno (koren liha se določi za vsako realno število), za negativno m pa mora biti število a različno od nič (tako da ni delitve z ničlo).

Zgornje sklepanje nas pripelje do takšne definicije stopnje z delnim eksponentom.

Naj bo m / n nesvodljiva frakcija, m celo število in n pozitivno celo število. Za vsako zmanjšljivo frakcijo se stopnja nadomesti z. Za stopnjo a z nespremenljivim delnim eksponentom m / n velja

  • poljubno realno število a, pozitivno celo število m in liho pozitivno celo število n, na primer;
  • vsako neničelno realno število a, celotno negativno m in liho n, na primer;
  • katero koli ne-negativno število a, celo število pozitivnih m in celo n, npr.
  • katerikoli pozitivni a, celo število negativnih m in celo n, npr.
  • v drugih primerih stopnja z delnim eksponentom ni definirana, npr. stopnje niso definirane.

Razložimo, zakaj je stopnja s frakcijskim eksponentom, ki se lahko prekliče, predhodno nadomeščena s stopnjo z neizvedljivim eksponentom. Če preprosto definiramo stopnjo kot, in ne naredimo pridržka o neskladnosti frakcije m / n, se bomo soočili s situacijami, kot so naslednje: od 6/10 = 3/5, potem mora enakost imeti, a, a.

Upoštevajte, da je prva definicija stopnje z delnim indeksom lažja za uporabo kot druga. Zato ga bomo uporabljali tudi v prihodnje.

stopnja pozitivnega števila a z delnim indeksom m / n definiramo kot, za negativne zapise ne pripišemo nobenega pomena, stopnjo števila nič določimo za pozitivne delne kazalnike m / n, ker za negativne ulomne kazalce ni določena številka stopnje nič.

V zaključku tega odstavka opozarjamo na dejstvo, da lahko delni eksponent zapišemo v obliki decimalnega deleža ali mešanega števila, npr. Za izračun vrednosti izrazov tega tipa morate vpisati eksponent kot navaden ulomek in nato uporabiti definicijo stopnje s frakcijskim eksponentom. Za navedene primere imamo in.

Stopnja z iracionalnim in veljavnim indikatorjem

Znano je, da se množica realnih števil lahko obravnava kot združitev množic racionalnih in iracionalnih števil. Zato se lahko stopnja z veljavnim kazalnikom šteje za definirano, ko se določi stopnja z racionalnim kazalnikom in stopnja z iracionalnim kazalnikom. O stopnji smo govorili z racionalnim kazalnikom v prejšnjem odstavku, ostaja stopnja z iracionalnim kazalnikom.

Koncept stopnje a z iracionalnim indeksom se bo postopoma približal.

Pustiti je zaporedje decimalnih približkov iracionalno številko. Na primer, vzemite iracionalno številko, nato jo lahko sprejmete, ali itd. Treba je omeniti, da so številke racionalne.

Zaporedje racionalnih števil ustreza zaporedju stopinj in vrednosti teh stopenj lahko izračunamo na podlagi materiala izdelka, ki se dvigne v racionalno stopnjo. Kot primer vzemimo a = 3, potem pa, po dvigu do moči, dobimo.

Končno se zaporedje konvergira v določeno število, ki je vrednost moči a z iracionalnim eksponentom. Vrnimo se na naš primer: stopnja z iracionalnim indikatorjem oblike konvergira v število, ki je enako 6,27 s točnostjo ene stotine.

Stopnja pozitivnega števila a z iracionalnim indeksom je izraz, katerega vrednost je enaka meji zaporedja, kjer so zaporedne decimalne aproksimacije iracionalnega števila.

Stopnja števila nič je določena za pozitivne iracionalne kazalnike, s tem. Na primer. In stopnja števila 0 z negativnim iracionalnim kazalnikom ni določena, na primer ni definirana.

Ločeno pa je treba povedati o iracionalni stopnji enote - enota v kateri koli iracionalni stopnji je enaka 1. Na primer, in.

Pojasnite, kako poiskati moč številke

Prihranite čas in ne vidite oglasov s storitvijo Knowledge Plus

Prihranite čas in ne vidite oglasov s storitvijo Knowledge Plus

Odgovor

Odgovor je podan

19kot

Povežite Knowledge Plus za dostop do vseh odgovorov. Hitro, brez oglaševanja in odmora!

Ne zamudite pomembnega - povežite Knowledge Plus, da boste takoj videli odgovor.

Oglejte si videoposnetek za dostop do odgovora

Oh ne!
Pogledi odgovorov so končani

Povežite Knowledge Plus za dostop do vseh odgovorov. Hitro, brez oglaševanja in odmora!

Ne zamudite pomembnega - povežite Knowledge Plus, da boste takoj videli odgovor.

Oglejte si videoposnetek za dostop do odgovora

Oh ne!
Pogledi odgovorov so končani

  • Komentarji
  • Označi kršitev

Odgovor

Odgovor je podan

Nadirka212

Najbolj razumna stvar je razgraditi število v osnovne faktorje, nato pa najdete tako osnovo kot eksponent.
Če je baza znana, se indikator lahko najde z logaritmizacijo, na primer,
2 ^ x = 8
Da bi našli x, morate prešteti oba dela baze 2
x = prijavite bazo 2 od 8 = ln 8 / ln 2 (to se lahko izračuna na kalkulatorju) = 3
Če je indikator znan, se osnovica najde z izvlekom korena, na primer
x ^ 3 = 8
izvlecite kubični koren iz obeh delov
x = kubični koren 8 = 2

Če nobeden od njiju ne pozna enega ali drugega, razgradi število v osnovne dejavnike, se to stori tako, da zaporedno delimo število na osnovne dejavnike
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 ni deljivo z 2, s 3, s 5 (zaporedoma se ponavljajo na praštevilke)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Skupaj smo jih razdelili za 2 osemkrat in 7 štirikrat
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Če želimo poiskati predstavitev v obliki a ^ b z naravnimi a in b in b morata biti maksimalna, potem moramo kot b vzeti GCD stopinj, dobljenih pri razgradnji, v primarne faktorje, to je v tem primeru b = GCD (8.4) = 4
osnova stopnje a bo 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Kakšna je moč številke

Upoštevajte, da se ta oddelek ukvarja s pojmom stopnje samo z naravnim indikatorjem in nič.

Koncept in lastnosti stopenj z racionalnimi eksponenti (z negativnimi in delnimi) bodo obravnavane v učnih urah za razred 8. t

Torej, poglejmo, kakšna je moč številke. Večkratno zapisovanje izdelka samega števila uporablja skrajšani zapis.

Namesto produkta šestih enakih faktorjev 4, 4, 4, 4, 4, 4 napišejo 4 6 in rečejo »štiri do šeste stopnje«.

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Izraz 4 6 se imenuje moč števila, kjer:

  • 4 - osnova stopnje;
  • 6 - eksponent.

Na splošno se stopnja z osnovo "a" in indeksom "n" napiše z uporabo izraza:

Stopnja števila »a« z naravnim indeksom »n«, ki je večja od 1, je produkt »n« enakih faktorjev, od katerih je vsak enak številu »a«.

Zapis »n« se glasi takole: »toda moč n« ali »n-ta moč števila a«.

Izjeme so zapisi:

  • a 2 - lahko se izgovori kot "kvadrat";
  • a 3 - lahko se izgovori kot »vendar v kocki«.

Seveda lahko zgornje izraze preberete tako, da določite stopnjo:

  • a 2 - »in v drugi stopnji«;
  • a 3 - "in v tretji stopnji."

Posebni primeri se pojavijo, kadar je eksponent en ali nič (n = 1; n = 0).

Stopnja števila "a" z indeksom n = 1 je samo število:
a 1 = a

Vsaka številka v ničelni stopnji je ena.
a 0 = 1

Nič v kateri koli stopnji je nič.
0 n = 0

Enota na katero koli stopnjo je enaka 1.
1 n = 1

Izraz 0 0 (nič do nič) se šteje za nesmiseln.

Pri reševanju primerov se je treba zavedati, da se dvig do moči imenuje iskanje numerične ali abecedne vrednosti po dvigu na moč.

Primer. Dvigni se do stopnje.

  • 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
  • 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
  • (

Dvig negativnega števila

Osnova stopnje (število, ki se dvigne na moč) je lahko poljubno število - pozitivno, negativno ali nič.

Pri dvigu na pozitivno število dobimo pozitivno število.

Pri konstruiranju ničelne stopnje naravnosti dobimo ničlo.

Pri dvigovanju negativnega števila na moč je lahko rezultat pozitivno ali negativno število. To je odvisno od tega, ali je eksponent liho ali liho.

Razmislite o primerih dviga na moč negativnih števil.

Iz obravnavanih primerov je jasno, da če se negativno število dvigne na liho stopnjo, potem dobimo negativno število. Ker je produkt neparnega števila negativnih dejavnikov negativen.

Če se negativno število dvigne na enakomerno moč, se dobi pozitivno število. Ker je produkt parnega števila negativnih dejavnikov pozitiven.

Negativno število, dvignjeno na enakomerno moč, je pozitivno število.

Negativno število, dvignjeno na liho moč, je negativno število.

Kvadrat katerega koli števila je pozitivno število ali nič, to je:

a 2 ≥ 0 za vse a.

  • 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
  • −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Bodite pozorni!

Pri reševanju primerov eksponentiranja pogosto delajo napake, pri čemer pozabljajo, da so vnosi (−5) 4 in −5 4 različni izrazi. Rezultati eksponiranja teh izrazov bodo različni.

Izračun (−5) 4 pomeni, da se najde vrednost četrte moči negativnega števila.

Pri iskanju »−5 4« pomeni, da je treba primer rešiti v dveh korakih:

  1. Dvignite na četrto moč pozitivno številko 5.
    5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
  2. Pred rezultatom postavite znak minus (to je, izvedite dejanje odštevanja).
    −5 4 = −625

Primer. Izračunajte: −6 2 - (−1) 4

  1. 6 2 = 6,6 = 36
  2. −6 2 = −36
  3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
  4. - (- 1) 4 = −1
  5. −36 - 1 = −37

Postopek v primerih s stopinjami

Izračun vrednosti se imenuje dejanje eksponenta. To je dejanje tretjega koraka.

V izrazih s pooblastili, ki ne vsebujejo oklepajev, najprej izvršijo moč, nato pomnožijo in delijo ter na koncu dodajo in odštejejo.

Če v izrazu obstajajo oklepaji, najprej v zgornjem vrstnem redu izvedite dejanja v oklepajih in nato preostala dejanja v istem vrstnem redu z leve proti desni.

Da bi olajšali rešitev primerov, je koristno poznati in uporabljati tabelo, ki jo lahko brezplačno prenesete na naši spletni strani.

Če želite preveriti svoje rezultate, lahko uporabite spletni kalkulator za dvig stopnje na naši spletni strani.

Kako ugotoviti stopnjo

Najbolj razumna stvar je razgraditi število v osnovne faktorje, nato pa najdete tako osnovo kot eksponent.
Če je baza znana, se indikator lahko najde z logaritmizacijo, na primer,
2 ^ x = 8
Da bi našli x, morate prešteti oba dela baze 2
x = prijavite bazo 2 od 8 = ln 8 / ln 2 (to se lahko izračuna na kalkulatorju) = 3
Če je indikator znan, se osnovica najde z izvlekom korena, na primer
x ^ 3 = 8
izvlecite kubični koren iz obeh delov
x = kubični koren 8 = 2

Če nobeden od njiju ne pozna enega ali drugega, razgradi število v osnovne dejavnike, se to stori tako, da zaporedno delimo število na osnovne dejavnike
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 ni deljivo z 2, s 3, s 5 (zaporedoma se ponavljajo na praštevilke)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Skupaj smo jih razdelili za 2 osemkrat in 7 štirikrat
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Če želimo poiskati predstavitev v obliki a ^ b z naravnimi a in b in b morata biti maksimalna, potem moramo kot b vzeti GCD stopinj, dobljenih pri razgradnji, v primarne faktorje, to je v tem primeru b = GCD (8.4) = 4
osnova stopnje a bo 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Stopnja števila je takrat, ko se to število pomnoži s samim seštevkom, s tolikokratno stopnjo.
na primer:
2 do 5 stopinj - 2 * 2 * 2 * 2 * 2
če je podana katera koli številka (recimo, 121) in morate vedeti, kateri kvadrat je, potem morate poznati kvadrate od 1 do 20 (po možnosti). Na primer 121 - kvadrat 11

Naukolandia

Znanstveni in matematični članki

Kaj je nazaj k temu?

Povišanje obrata obeh dejavnosti:

  • ekstrakcijo korenin
  • iskanje logaritma.

Najprej morate najprej ugotoviti, kaj pomeni nasprotni učinek. Torej je delitev nasprotni učinek množenja, odštevanje pa je dodatek. To izhaja iz sklepanja, da proizvod, ki izhaja iz množenja dveh dejavnikov, omogoča, da najdemo enega od dejavnikov, če je drugi znan. Na primer, 5 * 3 = 15. Če ne vemo drugega faktorja (5 *? = 15), ga lahko najdemo z delitvijo: 15: 5 = 3. Operacija se ne spremeni, če je prvi dejavnik neznan :? * 3 = 15, 15: 3 = 5. Razlog za to je dejstvo, da množenje sledi peremeshive zakonu (produkt se ne spreminja od spreminjanja mest množiteljev).

Podobno za odštevanje :? + 10 = 33, 33 - 10 = 23 ali? + 23 = 33, 33 - 23 = 10. Ni pomembno, kateri dodatek je neznan, vedno ga najdemo z odštevanjem.

Toda z eksponentiranjem ni vse tako preprosto. Tukaj, iz permutacije osnove stopnje in eksponenta, se rezultat spremeni, t.j. eksponentizacija ne spoštuje pereseatelnega zakona: 4 3 = 64, vendar 3 4 = 81. (Čeprav obstajajo izjeme: 2 4 = 16 in 4 2 = 16.)

Torej, če poznamo rezultat eksponentnega delovanja in eksponenta, potem, da bi našli osnovo eksponenta, moramo iz rezultata eksponenta izvleči koren eksponenta, ki je znan v eksponentu:

? 3 = 125, torej 3 × 125 = 5.

Če sta osnova stopnje in rezultat eksponenta znani in je treba poiskati eksponent, potem se taka operacija uporabi kot iskanje logaritma:

Stevija - raste iz semena

Učinkovito delovanje za izboljšanje krvnega obtoka v nogah.